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By Otto Forster

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ISBN-13: 9783528672249

ISBN-10: 3663092631

ISBN-13: 9783663092636

Dieses seit ?ber 25 Jahren bew?hrte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters f?r Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu gro?e Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bez?ge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes erg?nzt, so dass die Rechnungen direkt am computing device nachvollzogen werden k?nnen.

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Example text

Wir zeigen zunachst, dass die Folge (an) der linken Endpunkte eine Cauchy-Folge darstellt. Beweis hierfiir. Da die Lange der Intervalle gegen null konvergiert, gibt es zu vorgegebenem E > 0 ein N E N, so class diam(In) < E fur alle n ~ N. d. Nach dem Vollstlindigkeits-Axiomkonvergiert die Folge (an) gegen einen Punkt x E lit Da ak ~ an ~ bn ~ bk fur alle n ~ k, folgt aus §4, Corollar zu Satz 5, dass ak ~ x ~ bk. Das heiBt, class der Grenzwert x in allen Intervallen h enthalten ist. Da die Lange der Intervalle gegen null konvergiert, kann es nicht mehr als einen solchen Punkt geben.

Wir fahren jetzt mit der Behandlung der Beispiele fort. 6) Die Folge (In) = (0,1,1 ,2,3,5,8,13, ... ) der Fibonaeci-Zahlen divergiert. Denn man zeigt leieht dureh vollstandige Induktion, dass fn+l ~ n fur aile n ~ O. Die Folge ist also nieht beschrankt und kann deshalb naeh Satz 1 nieht konvergieren . 6. 7) Das Konvergenzverhalten der Folge (x")nEN hangt vom Wert von x abo Wir unterseheiden vier Hille. 1. Fall. Pur Ixl < 1 gilt lim x" = O. n-t~ Beweis. Naeh §3, Satz 3 b), existiert zu vorgegebenem Ixl N < E.

Fur alle' n ~ N gilt dann nach der Dreiecks-Ungleichung § 4 Folgen, Grenzwerte 30 2 = /an+l-anl=/(an+l -a)+(a-an)/ ::;; lan+l-al+lan -al < 1+1=2 . Es ergibt sich also der Widerspruch 2 konvergieren. h. 4) lim _n_ = 1. 5) n4°o lim 2n l/e. Damit ist fiir aile n ~ N . = O. Beweis. Fiir aile n > 3 gilt n2 ::;; 2n , wie man durch vollstlindige Induktion beweist (vgl. 1). Daraus folgt n2 2 - n s; 1 '" , n 1 also -::;;n 2 Sei e > 0 vorgegeben und N I;-01 = ; ::;; n > max(3, l/e). d. Bevor wir die nachsten Beispiele behandeln, filhren wir noch einen weiteren wichtigen Begriff ein .

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Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen by Otto Forster


by Robert
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