Download PDF by Hans Triebel: Analysis und mathematische Physik

By Hans Triebel

ISBN-10: 3034852657

ISBN-13: 9783034852654

ISBN-10: 3764322500

ISBN-13: 9783764322502

Von 1974 bis 1979 hatte ich an der Friedrich-Schiller-Universitat in Jena die sicherlich nicht alltagliche Gelegenheit, einen durchgehenden 10semestrigen Kurs flir Mathematikstudenten zu lesen. Entsprechend dem Studienplan hatten diese Vorlesungen verschiedene N amen (Differential- und Integralrechnung, gewohn liche Differentialgleichungen usw.), Inhalt und Zielstellung werden aber wohl am besten durch "Analysis und mathematische Physik" ausgedriickt. Das Buch ist das erweiterte Skelett dieses Kurses. Skelett insofern, als auf Beweise weitgehend verzichtet wurde (im Gegensatz zu groBen Teilen der Vorlesung). Andererseits wurden die Kapitel 27, 32 und 33 nachtraglich eingefligt. Das Ziel des Kurses ist klar, wenn guy einen Blick in das Inhaltsverzeichnis dieses Buches wirft: Einerseits hat die Mathematik groBartige, elegante, in sich geschlossene Theorien entwickelt, die keiner weiteren Rechtfertigung bediirfen. Andererseits sind es oft gerade die schonsten dieser Theorien, die zugleich das Fundament bilden, auf dem klassische und moderne theoretische Physik ruhen. Es warfare das Ziel, nicht nur diese Fundamente zu beschreiben, sondern auch einen Eindruck von den Gebauden zu vermitteln, die iiber ihnen errichtet werden konnen. Getreu dem Hilbertschen excellent werden hierbei mathematische Theorien und ihre physikalischen Interpretationen und Anwendungen sauberlich getrennt.

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Die8e 8ind die n-ten Einheit8wurzeln. Bemerkung 2. Der Satz folgt aus den obigen Betrachtungen. Es entsteht die Frage, ob fiir beliebige komplexe Polynome n-ten Grades " a;z;, ~ ;=0 a; komplex, ein ahnlicher Sachverhalt " . gilt. Wir kiinnen 1ln'*'0 voraussetzen. Hierbei heiBt zi NuIlsteIle, falls ~ a;zl =0 gilt. Satz 2 (Fundamentalsatz der Algebra). ;=0 " ~ OjZi, aj komplex, a,,=I=O, besitzt genau n i=O komplexe Nu1l8tellen. Sind Z1, ... , z" die8e Nu1l8tellen, 80 gilt n ~ aizi =an (z -Zi) (z -Z2) ...

Satz 3. 1st nM (b - a) -< 1, so besitzt H aus Satz 2 genau einen Fixpunkt in O[a, b) X X .. XO[a, b]. Bemerkung 2. 3. t(x), ... i(x), ••. ,In(x» dx, a j=1, ... , n, gilt. Aus Satz 2 folgt daM, daB Ij(x) in (a, b) differenzierbar ist und f/(x)=hj(x,lt(x), ... ,ln(x», xE(a,b), j=l, ... ,n, gilt. Gleichungen dieser Art, in denen Funktionenlt(x), .. ,In(x) und Ableitungen dieser Funktionen miteinander verkniipft sind, nennt man gewohnliche Differentialgleichungen (oder besser, Systeme von gewohnlichen Differentialgleichungen).

Beispiele Lemma 1. q;=_l(geometrische Reihe). ;=0 i-O 1 -q Lemma 2. (a) Die harmonische Reihe i ;=1 ~ divergiert. J *"J . Lemma 3. Die Reihe 1 - {+ {- ~ +~ - i +... ist konvergent, aber nicht absolut konvergent. - 1 (b) 1st k=2, 3, 4, ... , so konvergiert ~ ;=1 1 1 Bemerkung. Die Reihe 1- 2 +"3-'" 1 pendelt sich auf ihren Grenzwert ein, wahrend 1 1 + 2 +"3 + ... unbegrenzt wachst. 3. Konvergenzkriterien Satz 1 (Majorantenkriterium). Es sei O;§a;;§b;. 1st ~ j=1 a; konvergent. Bemerkung 1. Man sagt, daB ~ i=1 bj konvergent, so ist auch 1: b; eine Majorante der Reihe 1: aj ist.

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Analysis und mathematische Physik by Hans Triebel


by Richard
4.4

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